Διαφορες κλιμακες και η συγκρισις των μεσω των 1200 cents (μοριων)

GKM, psaltis

 

 

I.  __ Εισαγωγη Introduction____________________________________________ 2

II. __ Μετατροπη διαφορων διαστηματων Unit conversion process______________ 3

A.         απο μορια εις 1200 cents (μορα) from (x) units to cents_____________________ 4

B.         απο 1200 cents (μορια) εις μορια  from 1200 cents to (x) units________________ 5

III._ Συγκρισεις μοριων  Comparison of various ET units_____________________ 8

IV._ Περι εκτεταμμενου πενταχορδου της συγκερασμενης 68 μοριακης κλιμακος του Χρυσανθου
Concerning the AUGMENTED fifth in the Chrysanthian 68 unit Equally Tempered scale_________________________________________________ 12

V. __ Συγκρισεις γενων  Genos" (gender comparisons)_______________________ 13

VI._ Συγκριτικα σχεδιαγραμματα   Comparative diagrams___________________ 16

VII._ Περι συγκρισεως Χροων  Concerning the comparison of Chroa___________ 25

VIII. Τα μαθηματικα ΔΕΝ κυβερνουν την ακοην
 Mathematics do NOT govern acoustic perception______________________ 35

 

 

 

I. Εισαγωγη
Introduction

 

 

 

 

 

 

Προς διευκολυνσιν ΣΥΓΚΡΙΣΕΩΣ διαφορων κλιμακων βασισμενες

So as to facilitate the COMPARISON of various muscial scales based on the following  

         πχ      σε      68      =       Χρυσανθος

         πχ      σε      68      =       Chrysanthos (early 1800s)

                   η       72      =       Επιτροπη

                   η       72      =       Επιτροπη (Commission, 1881)

                   η       24      =       Ρουμανοι και Παγκρατιος

                   η       24      =       Rumanians and Pangratios

                   η και 53      =       Κινεζοι

                   η και 53      =       Chinese (Mercator)

 

 

         ισοδιαστηματικα λογαριθμηκα μορια ανα οκταχορδου συνηχησεως,

         ET (Equally Tempered) logarithmic units within a perfect octave system,

 

 

         δυναται και γινει χρησις των 1200 λογαριθμηκως ισοδιαστηματικων μοριων, τα λεγομενα CENTS

         one can use a common « currency » of compare, that of the 1200 ET (Equally Tempered) known as the CENT.

http://en.wikipedia.org/wiki/Cent_%28music%29

 

II.    Μετατροπη διαφορων διαστηματων
Unit conversion process

 

 

 

Πιναξ 1

 

 

A.  απο μορια εις 1200 cents (μορα)
from (x) ET units to cents

 

Epitropi 1881

(χ÷72)x(1200) = 16,667 cents ανα μοριον της Επιτροπης (κλιμακος 72 μοριων)

 

 

Chrysanthos 68

(χ÷68)x(1200) = (χ÷68)x(1200) = 17, 647059 cents ανα μοριον του Χρυσανθου (κλιμακος 68 μοριων)

 

Chrysanthos 66

(χ÷66)x(1200) = 18,1818 cents ανα μοριον του Χρυσανθου (επιδιορθωμενης κλιμακος 66 μοριων)

 

 

 

 

B.  απο 1200 cents (μορια) εις μορια
from 1200 cents to (x) ET units

 

Epitropi 1881

(χ÷1200)x(72) = 0,060 μορια της Επιτροπης (κλιμακος 72 μοριων) ανα ενος cent

 

 

Chrysanthos 68

(χ÷1200)x(68) = 0,057 μορια του Χρυσανθου (κλιμακος 68 μοριων) ανα ενος cent

 

Chrysanthos 66

(χ÷1200)x(68) = 0,055 cents ανα μορια του Χρυσανθου (κλιμακος 68 μοριων) ανα ενος cent

 

 

 

 

πχ

 

1) Εις ποσα μορια της 72 μοριακης κλιμακος επιτροπης αντιστοιχουν τα 4 μορια της 68 μοριακης κλιμακος του Χρυσανθου ?

 

α) μεθοδος πραξεων

χ = (4/68) x 72 = 4, 235 μορια επιτροπης

 

 

 

 

πχ

2) Εις ποσα μορια της 68 μοριακης κλιμακος του Χρυσανθου αντιστοιχουν τα 4 μορια της 72 μοριακης κλιμακος επιτροπης ?

 

α) μεθοδος πραξεων

χ = (4/72) x 68 = 3,778 μορια Χρυσανθου

 

 

 

 

 

3) Εις ποσα cents της 1200 μοριακης κλιμακος αντιστοιχουν τα 4 μορια της 68 μοριακης κλιμακος του Χρυσανθου ?

 

α) μεθοδος πραξεων

χ = (4/68) x 1200 = 70,588 cents

 

ισουτε της εξης πραξεως

Chrysanthos 68

(χ÷68)x(1200) = (χ÷68)x(1200) = 17, 647059 cents ανα μοριον του Χρυσανθου (κλιμακος 68 μοριων)

4 x  17, 647059 cents = 70,588 cents

 

β) μεθοδος πινακων

Ευρε τον αριθμον 4 εντος της πρωτης στυλεως του επακολοθηουντος πινακα

Προχορησε οριςοντιως εως την στυλην των 68 μοριων του Χρυσανθου

Αντεγραψε τον αριθμον τουτεστη 70,588235 cents

 

Το δεξιον ημιση του πινακος περιεχει προσεγγισεις εις εναν ουσιωδες ψηφιον μετα του κομματος (significant decimal position) : 70,6 cents

 

 

 

 

πχ

4) Εις ποσα cents της 1200 μοριακης κλιμακος αντιστοιχουν τα 4 μορια της 72 μοριακης κλιμακος της Επιτροπης ?

 

α) μεθοδος πραξεων

χ = (4/72) x 1200 = 66,667 cents

 

ισουτε της εξης πραξεως

Epitropi 1881

(χ÷1200)x(72) = 0,060 μορια της Επιτροπης (κλιμακος 72 μοριων) ανα ενος cent

4 x 0,060 = 66,667 cents

 

β) μεθοδος πινακων

Ευρε τον αριθμον 4 εντος της πρωτης στυλεως του επακολοθηουντος πινακα

Προχορησε οριςοντιως εως την στυλην των 72 μοριων της Επιτροπης

Αντεγραψε τον αριθμον τουτεστη 66,666667 cents

 

Το δεξιον ημιση του πινακος περιεχει προσεγγισεις εις εναν ουσιωδες ψηφιον (significant decimal position) : 66,7 cents

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Το καθε διαστημα το οποιο διαιρειται ολοκληρως δια 100 αντιστοιχει θεωρητικως τε ΑΚΡΙΒΩΣ εις διαστημα ΠΙΑΝΟΥ,
και δυναται ινα περιεχει ([1, 3, 5, 7, 9 η 11] x 100 cents) η και να μη περιεχει ([2, 4, 6, 8, 10 η 12] x 100 cents), ημιτονιον πιανου.

 

Το καθε διαστημα το οποιο διαιρειται ολοκληρως δια 50 αλλ’ουχι δια 100 αντιστοιχει θεωρητικως τε ΑΚΡΙΒΩΣ εις διαστημα ενος ΤΕΤΑΡΤΟΥ τονου του ΠΙΑΝΟΥ.

 

 

III.  Συγκρισεις μοριων
Comparison of units

 

Πιναξ 2α

 

Πιναξ συσχετησης μοριων εκ διαφορετικων κλιμακων εις κοινοχρηστον 1200 μοριακον συστημα

 

Μορια εκ

κλιμακος τινης

Μετατροπη

εξ

Επιτροπης

72

Μετατροπη

εκ Χρυσανθου

68

Μετατροπη

εκ Χρυσανθου

66

Μετατροπη

εκ

Κινεζων

53

Μετατροπη

εκ

Ρουμανων

24

Μορια εκ

κλιμακος τινης

Μετατροπη

εξ

Επιτροπης 72

Μετατροπη

εκ

Χρυσανθου

68

Μετατροπη

εκ

Χρυσανθου

66

Μετατροπη

εκ

Κινςζων

53

Μετατροπη

εκ

Ρουμανων

24

1

16,666667

17,647059

18,181818

22,641509

50,000000

1

16,7

17,6

18,2

22,6

50,0

2

33,333333

35,294118

36,363636

45,283019

100,000000

2

33,3

35,3

36,4

45,3

100,0

3

50,000000

52,941176

54,545455

67,924528

150,000000

3

50,0

52,9

54,5

67,9

150,0

4

66,666667

70,588235

72,727273

90,566038

200,000000

4

66,7

70,6

72,7

90,6

200,0

5

83,333333

88,235294

90,909091

113,207547

250,000000

5

83,3

88,2

90,9

113,2

250,0

6

100,000000

105,882353

109,090909

135,849057

300,000000

6

100,0

105,9

109,1

135,8

300,0

7

116,666667

123,529412

127,272727

158,490566

350,000000

7

116,7

123,5

127,3

158,5

350,0

8

133,333333

141,176471

145,454545

181,132075

400,000000

8

133,3

141,2

145,5

181,1

400,0

9

150,000000

158,823529

163,636364

203,773585

450,000000

9

150,0

158,8

163,6

203,8

450,0

10

166,666667

176,470588

181,818182

226,415094

500,000000

10

166,7

176,5

181,8

226,4

500,0

11

183,333333

194,117647

200,000000

249,056604

550,000000

11

183,3

194,1

200,0

249,1

550,0

12

200,000000

211,764706

218,181818

271,698113

600,000000

12

200,0

211,8

218,2

271,7

600,0

13

216,666667

229,411765

236,363636

294,339623

650,000000

13

216,7

229,4

236,4

294,3

650,0

14

233,333333

247,058824

254,545455

316,981132

700,000000

14

233,3

247,1

254,5

317,0

700,0

15

250,000000

264,705882

272,727273

339,622642

750,000000

15

250,0

264,7

272,7

339,6

750,0

16

266,666667

282,352941

290,909091

362,264151

800,000000

16

266,7

282,4

290,9

362,3

800,0

17

283,333333

300,000000

309,090909

384,905660

850,000000

17

283,3

300,0

309,1

384,9

850,0

18

300,000000

317,647059

327,272727

407,547170

900,000000

18

300,0

317,6

327,3

407,5

900,0

19

316,666667

335,294118

345,454545

430,188679

950,000000

19

316,7

335,3

345,5

430,2

950,0

20

333,333333

352,941176

363,636364

452,830189

1 000,000000

20

333,3

352,9

363,6

452,8

1 000,0

21

350,000000

370,588235

381,818182

475,471698

1 050,000000

21

350,0

370,6

381,8

475,5

1 050,0

22

366,666667

388,235294

400,000000

498,113208

1 100,000000

22

366,7

388,2

400,0

498,1

1 100,0

23

383,333333

405,882353

418,181818

520,754717

1 150,000000

23

383,3

405,9

418,2

520,8

1 150,0

24

400,000000

423,529412

436,363636

543,396226

1 200,000000

24

400,0

423,5

436,4

543,4

1 200,0

25

416,666667

441,176471

454,545455

566,037736

 

25

416,7

441,2

454,5

566,0

 

26

433,333333

458,823529

472,727273

588,679245

 

26

433,3

458,8

472,7

588,7

 

27

450,000000

476,470588

490,909091

611,320755

 

27

450,0

476,5

490,9

611,3

 

28

466,666667

494,117647

509,090909

633,962264

 

28

466,7

494,1

509,1

634,0

 

29

483,333333

511,764706

527,272727

656,603774

 

29

483,3

511,8

527,3

656,6

 

30

500,000000

529,411765

545,454545

679,245283

 

30

500,0

529,4

545,5

679,2

 

31

516,666667

547,058824

563,636364

701,886792

 

31

516,7

547,1

563,6

701,9

 

32

533,333333

564,705882

581,818182

724,528302

 

32

533,3

564,7

581,8

724,5

 

33

550,000000

582,352941

600,000000

747,169811

 

33

550,0

582,4

600,0

747,2

 

34

566,666667

600,000000

618,181818

769,811321

 

34

566,7

600,0

618,2

769,8

 

35

583,333333

617,647059

636,363636

792,452830

 

35

583,3

617,6

636,4

792,5

 

36

600,000000

635,294118

654,545455

815,094340

 

36

600,0

635,3

654,5

815,1

 

37

616,666667

652,941176

672,727273

837,735849

 

37

616,7

652,9

672,7

837,7

 

38

633,333333

670,588235

690,909091

860,377358

 

38

633,3

670,6

690,9

860,4

 

39

650,000000

688,235294

709,090909

883,018868

 

39

650,0

688,2

709,1

883,0

 

40

666,666667

705,882353

727,272727

905,660377

 

40

666,7

705,9

727,3

905,7

 

41

683,333333

723,529412

745,454545

928,301887

 

41

683,3

723,5

745,5

928,3

 

42

700,000000

741,176471

763,636364

950,943396

 

42

700,0

741,2

763,6

950,9

 

43

716,666667

758,823529

781,818182

973,584906

 

43

716,7

758,8

781,8

973,6

 

44

733,333333

776,470588

800,000000

996,226415

 

44

733,3

776,5

800,0

996,2

 

45

750,000000

794,117647

818,181818

1 018,867925

 

45

750,0

794,1

818,2

1 018,9

 

46

766,666667

811,764706

836,363636

1 041,509434

 

46

766,7

811,8

836,4

1 041,5

 

47

783,333333

829,411765

854,545455

1 064,150943

 

47

783,3

829,4

854,5

1 064,2

 

48

800,000000

847,058824

872,727273

1 086,792453

 

48

800,0

847,1

872,7

1 086,8

 

49

816,666667

864,705882

890,909091

1 109,433962

 

49

816,7

864,7

890,9

1 109,4

 

50

833,333333

882,352941

909,090909

1 132,075472

 

50

833,3

882,4

909,1

1 132,1

 

51

850,000000

900,000000

927,272727

1 154,716981

 

51

850,0

900,0

927,3

1 154,7

 

52

866,666667

917,647059

945,454545

1 177,358491

 

52

866,7

917,6

945,5

1 177,4

 

53

883,333333

935,294118

963,636364

1 200,000000

 

53

883,3

935,3

963,6

1 200,0

 

54

900,000000

952,941176

981,818182

 

 

54

900,0

952,9

981,8

 

 

55

916,666667

970,588235

1 000,000000

 

 

55

916,7

970,6

1 000,0

 

 

56

933,333333

988,235294

1 018,181818

 

 

56

933,3

988,2

1 018,2

 

 

57

950,000000

1 005,882353

1 036,363636

 

 

57

950,0

1 005,9

1 036,4

 

 

58

966,666667

1 023,529412

1 054,545455

 

 

58

966,7

1 023,5

1 054,5

 

 

59

983,333333

1 041,176471

1 072,727273

 

 

59

983,3

1 041,2

1 072,7

 

 

60

1 000,000000

1 058,823529

1 090,909091

 

 

60

1 000,0

1 058,8

1 090,9

 

 

61

1 016,666667

1 076,470588

1 109,090909

 

 

61

1 016,7

1 076,5

1 109,1

 

 

62

1 033,333333

1 094,117647

1 127,272727

 

 

62

1 033,3

1 094,1

1 127,3

 

 

63

1 050,000000

1 111,764706

1 145,454545

 

 

63

1 050,0

1 111,8

1 145,5

 

 

64

1 066,666667

1 129,411765

1 163,636364

 

 

64

1 066,7

1 129,4

1 163,6

 

 

65

1 083,333333

1 147,058824

1 181,818182

 

 

65

1 083,3

1 147,1

1 181,8

 

 

66

1 100,000000

1 164,705882

1 200,000000

 

 

66

1 100,0

1 164,7

1 200,0

 

 

67

1 116,666667

1 182,352941

 

 

 

67

1 116,7

1 182,4

 

 

 

68

1 133,333333

1 200,000000

 

 

 

68

1 133,3

1 200,0

 

 

 

69

1 150,000000

 

 

 

 

69

1 150,0

 

 

 

 

70

1 166,666667

 

 

 

 

70

1 166,7

 

 

 

 

71

1 183,333333

 

 

 

 

71

1 183,3

 

 

 

 

72

1 200,000000

 

 

 

 

72

1 200,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ως παραδειγμα, ας συγκρινομεν 12 μορια εκ καθε κλιμακος

As an example, let us compare 12 ET from various scales

 

 

         12 μόρια της επιτροπης αντιστιχουν σε
                            200,0 cents

         12 units of the Epitropi (1881) 72 ET scale of the  correspond to
                            200,0 cents

 

 

 

 

         ενω   12 μορια του Χρυσανθου αντιστιχουν σε                                        211,8 cents

         whereas 12 units of Chrysanthos’ 68 ET scale correspond to
                                      211,8 cents

 

         κι ενω         12 μορια της επιδιορθωμενης κλιμακος του Χρυσανθου αντιστιχουν σε       218,2 cents

         and    12 units of the « CORRECTED » Chrysanthos 66 ET scale correspond to

                                                        218,2 cents

 

 

 

 

 

 

 

 

Πιναξ 2β

 

 

Συμπληρωματικος πιναξ  συγκρισεως κλασματικης και συγκερασμενης κλιμακος Χρυσανθου

 

 

 

Note

 

Ratio

Cents

et-Cents

Chrysan Ratio

Chrys Ratio cents

Step

72 units  (diatonic)

 

 

Step

68 units (diatonic)

 

 

Step

66 units (diatonic)

 

 

Step

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cents)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Δι

G

 

 

1698,04

1700

2       

1 698,04

203,91

12

102

1 700,00

200,00

12

96

1 694,12

123,53

12

93

1 690,91

218,18

Γα

F

 

 

1494,13

1500

1   7/9 

1 494,13

143,50

8

90

1 500,00

133,33

7

89

1 570,59

158,82

7

81

1 472,73

127,27

Βου

E

 

 

1403,91

1400

1   7/11

1 350,63

150,64

10

82

1 366,67

166,67

9

80

1 411,76

211,76

8

74

1 345,45

145,45

Πα

D

2       

02:01

1200

1200

1   1/2 

1 200,00

203,91

12

72

1 200,00

200,00

12

68

1 200,00

123,53

12

66

1 200,00

218,18

Νη

C

1   7/9 

16:9 

996,09

1000

1   1/3 

996,08

143,50

8

60

1 000,00

133,33

7

61

1 076,47

158,82

7

54

981,82

127,27

Ζω

B

1  11/16

3:16:00

905,87

900

1   5/22

852,59

150,64

10

52

866,67

166,67

9

52

917,65

211,76

8

47

854,55

145,45

Κε

A

1   1/2 

03:02

701,96

700

1   1/8 

701,95

203,91

12

42

700,00

200,00

12

40

705,88

211,76

12

39

709,09

218,18

Δι

G

1   1/3 

04:03

498,04

500

1       

498,04

 

12

30

500,00

200,00

12

28

494,12

123,53

12

27

490,91

218,18

Γα

F

1   5/27

32:27:00

294,13

300

 

 

 

8

18

300,00

133,33

7

21

370,59

158,82

7

15

272,73

127,27

Βου

E

1   1/8 

09:08

203,91

200

 

 

 

10

10

166,67

166,67

9

12

211,76

211,76

8

8

145,45

145,45

Πα

D

1       

01:01

0

0

 

 

 

0

 

0,00

 

0

0

0,00

 

0

0

0,00